Unidad 3A: Diferenciación

🎯 Objetivos de Aprendizaje

Objetivo General

Desarrollar el cálculo diferencial de varias variables y sus aplicaciones básicas, extendiendo los conceptos de derivada y diferencial desde una variable a múltiples variables.

Objetivos Específicos

Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:

• Extender el concepto de derivada/diferencial de una variable a derivadas/diferencial en varias variables
• Interpretar gráficamente las derivadas direccionales
• Analizar condiciones de diferenciabilidad de funciones
• Derivar funciones compuestas, inversas e implícitas
• Caracterizar planos y rectas tangentes y normales a conjuntos dados
• Aproximar funciones escalares localmente
• Determinar y clasificar extremos de funciones escalares

📋 Contenidos y recursos

3A.1 Tipos de Derivadas

• 3A.1.1 Repaso: Derivada de una variable
• 3A.1.2 Derivadas direccionales
• 3A.1.3 Derivadas parciales
• 3A.1.4 Gradiente

3A.2 Herramientas Matriciales

• 3A.2.1 Matriz jacobiana
• 3A.2.2 Derivadas parciales de orden superior
• 3A.2.3 Matriz hessiana

3A.3 Condiciones de Diferenciación

• 3A.3.1 Diferenciación en una variable vs varias variables
• 3A.3.2 Condiciones necesarias y suficientes
• 3A.3.3 Teorema del límite de la diferenciación

3A.4 Aplicaciones y Teoremas

• 3A.4.1 Diferenciales
• 3A.4.2 Teorema de Clairaut-Schwarz
• 3A.4.3 Continuidad de derivadas parciales

💡 Idea Central

Estudiar funciones es estudiar dependencias entre variables. Esto es, cómo varía una cuando las otras lo hacen. Es decir, estudiar funciones es estudiar variaciones.

El cálculo diferencial es la aplicación inmediata del concepto de límite al estudio de funciones. Analiza variaciones infinitesimales y sus relaciones (tasas de cambio) y las usa para describir el comportamiento local (alrededor de un punto) de las funciones y sus conjuntos asociados.

Al ser varias variables, la tasa de cambio depende de cuál de ellas se está modificando, lo que da lugar a varias derivadas posibles. Pero, al igual que en una variable, existe como mucho una única función afín (tangente) que aproxima bien a la función alrededor de un punto.

Primer tema: 3A.1 Tipos de Derivadas

3A.1.1 Repaso: Derivada en Una Variable

Sea $f:D_f \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $x_0 \in D_f$ y $x_0$ es un punto de acumulación de $D_f$.

Definición: La derivada de $f$ en $x_0$ es:

$$f'(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Se dice que $f$ es derivable en $x_0$ si el límite existe y es finito.

3A.1.2 Derivada Direccional

Definición: Sean $f: D_f \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ un campo escalar, $\overline{x}_0 \in D_f$ un punto de acumulación de $D_f$, y $\overline{u} \in \mathbb{R}^n$ un vector unitario ($||\overline{u}|| = 1$).

La derivada direccional de $f$ en el punto $\overline{x}_0$ en la dirección del vector $\overline{u}$ es:

$$D_{\overline{u}} f(\overline{x}_0) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(\overline{x}_0 + t\overline{u}) - f(\overline{x}_0)}{t}$$

Interpretación: Esta derivada mide la tasa de cambio de la función $f$ al moverse desde el punto $\overline{x}_0$ en la dirección de $\overline{u}$.

3A.1.3 Derivadas Parciales

Las derivadas parciales son un caso particular de las derivadas direccionales.

Definición: Sea $f: D_f \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ un campo escalar y $\overline{x}_0 \in \text{Int}(D_f)$. La derivada parcial de $f$ con respecto a la $i$-ésima variable, $x_i$, en el punto $\overline{x}_0$ se define como:

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\overline{x}_0) = D_{\overline{e}_i} f(\overline{x}_0) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(\overline{x}_0 + t\overline{e}_i) - f(\overline{x}_0)}{t}$$

Aquí, $\overline{e}_i$ es el $i$-ésimo vector canónico de la base de $\mathbb{R}^n$.

Notación: $\frac{\partial f}{\partial x_i}$, $D_{x_i} f$, $f'_{x_i}$.

3A.1.4 Gradiente

Definición: Sea $f$ una función escalar de $n$ variables. El gradiente de $f$ en $\overline{x}$, denotado $\nabla f(\overline{x})$, es el vector de $\mathbb{R}^n$ cuyas componentes son las derivadas parciales de $f$ en $\overline{x}$.

$$\nabla f(\overline{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\overline{x}) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(\overline{x}) \end{pmatrix} = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\overline{x}), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\overline{x})\right)^T$$

Observación importante:

$$D_{\overline{u}} f(\overline{x}_0) = \nabla f(\overline{x}_0) \cdot \overline{u}$$

Segundo tema: 3A.2 Herramientas Matriciales

3A.2.1 Matriz Jacobiana

Definición: Sea $\overline{f}: D_{\overline{f}} \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p$ una función vectorial. La matriz jacobiana de $\overline{f}$ en $\overline{x}_0$ es la matriz $J(\overline{x}_0)$ de tamaño $p \times n$ cuyas filas son los gradientes de las funciones componentes de $\overline{f}$.

$$J(\overline{x}_0) = \begin{pmatrix} \nabla f_1(\overline{x}_0) \\ \vdots \\ \nabla f_p(\overline{x}_0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\overline{x}_0) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\overline{x}_0) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_p}{\partial x_1}(\overline{x}_0) & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_n}(\overline{x}_0) \end{pmatrix}$$

3A.2.2 Derivadas Parciales de Orden Superior

Si $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ existe para todo $\overline{x}$ en un entorno de $\overline{x}_0$, la función $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ puede tener sus propias derivadas parciales. A estas se las llama derivadas parciales de segundo orden.

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)$$

Las derivadas cruzadas son aquellas donde $i \neq j$.

Teorema de Clairaut-Schwarz (Teorema del orden de derivación):

Si las derivadas parciales de segundo orden $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ y $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$ son continuas en un entorno del punto, entonces son iguales en ese punto.

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$$

3A.2.3 Matriz Hessiana

Definición: La matriz hessiana de $f$ en $\overline{x}$ es la matriz de $n \times n$ cuyas entradas son las derivadas parciales de segundo orden de $f$.

$$H(\overline{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix}$$

Propiedad importante: La matriz hessiana es simétrica si las derivadas de segundo orden son continuas (por el Teorema de Clairaut-Schwarz).

Tercer tema: 3A.3 Condiciones de Diferenciación

3A.3.1 Diferenciación en Una Variable vs Varias Variables

Esquema de diferenciación en una variable:

• Derivabilidad → Continuidad
• La derivada proporciona la mejor aproximación lineal local

Diferenciación en varias variables:

• Existencia de derivadas parciales ≠ Diferenciabilidad
• Se requieren condiciones adicionales para garantizar diferenciabilidad

3A.3.2 Condiciones Necesarias y Suficientes (CNS) de Diferenciación

Teorema del Límite de la Diferenciación:

Una función $f: D_f \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en $\overline{x}_0$ si y solo si existe una transformación lineal $L: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

$$\lim_{||\overline{h}|| \rightarrow 0} \frac{f(\overline{x}_0 + \overline{h}) - f(\overline{x}_0) - L(\overline{h})}{||\overline{h}||} = 0$$

3A.3.3 Condiciones Prácticas

Condiciones Necesarias (CN) de Diferenciación:

1. Continuidad: Si $f$ es diferenciable en $\overline{x}_0$, entonces $f$ es continua en $\overline{x}_0$
2. Derivadas direccionales: Si $f$ es diferenciable en $\overline{x}_0$, entonces existen todas las derivadas direccionales
3. Derivadas parciales: Si $f$ es diferenciable en $\overline{x}_0$, entonces existen todas las derivadas parciales

Condiciones Suficientes (CS) de Diferenciación:

Continuidad de las derivadas parciales: Si las derivadas parciales de $f$ existen en un entorno de $\overline{x}_0$ y son continuas en $\overline{x}_0$, entonces $f$ es diferenciable en $\overline{x}_0$.

Cuarto tema: 3A.4 Aplicaciones y Teoremas

3A.4.1 Diferenciales

Definición: Si $f$ es diferenciable en $\overline{x}_0$, el diferencial de $f$ en $\overline{x}_0$ es la transformación lineal:

$$df(\overline{x}_0, \overline{h}) = \nabla f(\overline{x}_0) \cdot \overline{h} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(\overline{x}_0) h_i$$

Notación alternativa:

$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$

3A.4.2 Esquema Completo de la Unidad

Tipos de Derivadas:

• Repaso: Derivada de 1V
• Derivadas direccionales
• Derivadas parciales
• Gradiente
• Matriz jacobiana
• Derivadas parciales de orden superior
• Matriz hessiana

CNS de Diferenciación:

• Diferenciación en 1V vs VV
• Teorema del límite de la diferenciación
• Diferenciales
• CN: Continuidad, derivadas direccionales, derivadas parciales
• CS: Continuidad de derivadas parciales

3A.4.3 Aplicaciones Inmediatas

El desarrollo de estos conceptos permite:

1. Análisis local de funciones: Aproximaciones lineales y cuadráticas
2. Optimización: Condiciones necesarias para extremos
3. Geometría: Planos tangentes y normales a superficies
4. Física y ingeniería: Modelado de fenómenos multivariables
5. Ecuaciones diferenciales: Sistemas de ecuaciones con múltiples variables