Unidad 4: Funciones Escalares - Integrales Múltiples

🎯 Objetivos de Aprendizaje

Objetivo General

Desarrollar el cálculo integral de varias variables mediante integrales múltiples, estableciendo las bases teóricas y las técnicas de cálculo para funciones escalares en dominios de múltiples dimensiones.

Objetivos Específicos

Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:

• Extender el concepto de integral definida a múltiples variables
• Aplicar el teorema de Fubini para calcular integrales iteradas
• Utilizar cambios de variables en integrales múltiples
• Calcular volúmenes y áreas usando integrales múltiples
• Resolver problemas de masa, centro de masa y momentos de inercia
• Aplicar integrales múltiples en contextos probabilísticos

📋 Contenidos y recursos

4.1 Integral Múltiple

• 4.1.1 Repaso: integral en una variable
• 4.1.2 Partición y suma de Riemann en múltiples variables
• 4.1.3 Existencia y condiciones de integrabilidad

4.2 Teorema de Fubini

• 4.2.1 Enunciado y demostración del teorema
• 4.2.2 Integración por rectángulos
• 4.2.3 Integración por dominios generales

4.3 Teorema del Cambio de Variables

• 4.3.1 Repaso: cambio de variables en una variable
• 4.3.2 Teorema general y jacobiano
• 4.3.3 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas

4.4 Aplicaciones

• 4.4.1 Volúmenes y áreas
• 4.4.2 Masa y centro de masa
• 4.4.3 Momentos de inercia
• 4.4.4 Aplicaciones en probabilidad

💡 Idea Central

Esta unidad da comienzo a la segunda parte de la materia, donde desarrollamos el Cálculo Integral de varias variables.

En Análisis Matemático I vimos que hay dos grandes tipos de integrales: definidas e indefinidas. Si bien las últimas serán brevemente planteadas para funciones vectoriales en la Unidad 7, casi todas las integrales que usaremos en Análisis Matemático II son definidas.

Veremos distintos tipos de integrales, según el tipo de función que se integra y el tipo de dominio sobre el cual se integra. Pero todas ellas son un caso particular de las Integrales Múltiples, que definiremos en esta unidad y que se aplican a funciones escalares. Es decir, en vez de integrar una cantidad respecto de una variable, se la integra respecto de las varias (múltiples) variables de las que depende.

Interpretación Geométrica

• Una variable: La integral definida está inspirada en el cálculo del área bajo una curva, representada como grafo de una función escalar.
• Dos variables: El grafo de una función escalar es una manta y bajo él hay un volumen que podemos calcular.
• Múltiples dimensiones: El grafo es una superficie n-dimensional y bajo él hay un volumen (n+1)-dimensional, que también podemos calcular.

El planteo en todos los casos es análogo y puede hacerse según el paradigma de Riemann.

Dominios de Integración

Los dominios de integración de una variable son típicamente intervalos. En varias variables se vuelven muy complicados, ya que pueden tomar un sinfín de formas, lo que nos obliga a introducir conceptos topológicos para poder definirlos y clasificarlos.

Primer tema: 4.1 Integral Múltiple

4.1.1 Repaso: Integral en Una Variable

Para una función $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ continua, la integral definida se define como:

$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i$$

donde $\Delta x_i = \frac{b-a}{n}$ y $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$.

4.1.2 Partición y Suma de Riemann en Múltiples Variables

Definición: Sea $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ una función acotada definida en un dominio acotado $D$.

Partición: Una partición $P$ de $D$ es una división del dominio en subdominios $D_1, D_2, \ldots, D_k$ tales que:

• $D = \bigcup_{i=1}^{k} D_i$
• Los interiores de los $D_i$ son disjuntos
• Cada $D_i$ tiene volumen $\Delta V_i$

Suma de Riemann: Para cada subdominio $D_i$, elegimos un punto $\overline{x}_i^* \in D_i$ y formamos:

$$S(f,P) = \sum_{i=1}^{k} f(\overline{x}_i^*) \Delta V_i$$

Definición de Integral Múltiple: Si existe el límite:

$$\lim_{||P|| \rightarrow 0} S(f,P) = \int \cdots \int_D f(\overline{x}) d\overline{x}$$

donde $||P||$ es el diámetro máximo de los subdominios, entonces decimos que $f$ es integrable en $D$.

4.1.3 Existencia y Condiciones de Integrabilidad

Teorema de la Existencia (CS de Integrabilidad):

Sean $f: D_f \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ y $D \subseteq D_f$ tales que:

1. $D$ es acotado
2. $\text{Fr}(D)$ es liso a trozos
3. $f$ es acotada en $D$
4. $f$ es continua en $D - B$, donde $B$ es un conjunto liso a trozos

Entonces, $f$ es integrable en $D$ y el valor de la integral no depende del valor de $f$ en conjuntos lisos.

Segundo tema: 4.2 Teorema de Fubini

4.2.1 Teorema de Fubini

Enunciado: Sea $f$ una función continua en $D = [a,b] \times [c,d]$. Entonces:

$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y) dy dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y) dx dy$$

Interpretación: Este teorema permite calcular integrales dobles como integrales iteradas, reduciendo el problema a integrales de una variable que se calculan sucesivamente.

4.2.2 Integración por Rectángulos

Para dominios rectangulares $D = [a,b] \times [c,d]$, la integral doble se calcula directamente usando el teorema de Fubini:

$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \left[\int_c^d f(x,y) dy\right] dx$$

4.2.3 Integración por Dominios Generales

Para dominios más complejos, necesitamos describir la región $D$ en términos de desigualdades:

Región de tipo I: $D = \{(x,y) : a \leq x \leq b, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) dy dx$$

Región de tipo II: $D = \{(x,y) : c \leq y \leq d, h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$$\iint_D f(x,y) dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) dx dy$$

Tercer tema: 4.3 Teorema del Cambio de Variables

4.3.1 Repaso: Cambio de Variables en Una Variable

En una variable, si $x = g(u)$ donde $g$ es diferenciable e inyectiva:

$$\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(u)) g'(u) du$$

donde $\alpha = g^{-1}(a)$ y $\beta = g^{-1}(b)$.

4.3.2 Teorema del Cambio de Variables

Teorema: Sean $\overline{g}: A \rightarrow B$ una función inyectiva y $\overline{g} \in C^1(A)$ tal que la matriz jacobiana $J_{\overline{g}}(u,v)$ es invertible. Entonces:

$$\iint_B f(x,y) dx dy = \iint_A f(\overline{g}(u,v)) |\det(J_{\overline{g}}(u,v))| du dv$$

Jacobiano: El factor $|\det(J_{\overline{g}}(u,v))|$ se llama jacobiano de la transformación y representa el factor de expansión local del área.

4.3.3 Coordenadas Especiales

Coordenadas Polares (2D):

• Transformación: $x = s\cos\theta$, $y = s\sin\theta$
• Jacobiano: $|\det(J)| = s$

Corolario para Coordenadas Polares: Para $D$ en $\mathbb{R}^2$ y su correspondiente dominio $D'$ en coordenadas polares:

$$\iint_D f(x,y) dA = \iint_{D'} f(s\cos\theta, s\sin\theta) s ds d\theta$$

Coordenadas Cilíndricas (3D):

• Transformación: $x = s\cos\theta$, $y = s\sin\theta$, $z = z$
• Jacobiano: $|\det(J)| = s$

Coordenadas Esféricas (3D):

• Transformación: $x = r\sin\varphi\cos\theta$, $y = r\sin\varphi\sin\theta$, $z = r\cos\varphi$
• Jacobiano: $|\det(J)| = r^2\sin\varphi$

Cuarto tema: 4.4 Aplicaciones

4.4.1 Volúmenes y Áreas

Volumen bajo una superficie: Si $z = f(x,y) \geq 0$ en $D$, el volumen es:

$$V = \iint_D f(x,y) dA$$

Área de una región: El área de una región $D$ en el plano es:

$$\text{Área}(D) = \iint_D 1 dA$$

4.4.2 Masa y Centro de Masa

Masa: Si $\rho(x,y)$ es la densidad, la masa total es:

$$M = \iint_D \rho(x,y) dA$$

Centro de masa:

$$\bar{x} = \frac{1}{M} \iint_D x \rho(x,y) dA, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iint_D y \rho(x,y) dA$$

4.4.3 Momentos de Inercia

Momento de inercia respecto al eje x:

$$I_x = \iint_D y^2 \rho(x,y) dA$$

Momento de inercia respecto al eje y:

$$I_y = \iint_D x^2 \rho(x,y) dA$$

Momento polar de inercia:

$$I_0 = \iint_D (x^2 + y^2) \rho(x,y) dA$$

4.4.4 Aplicaciones en Probabilidad

Para variables aleatorias continuas $(X,Y)$ con función de densidad conjunta $f(x,y)$:

Probabilidad:

$$P((X,Y) \in D) = \iint_D f(x,y) dx dy$$

Esperanza:

$$E[X] = \iint_{\mathbb{R}^2} x f(x,y) dx dy$$ $$E[Y] = \iint_{\mathbb{R}^2} y f(x,y) dx dy$$