Unidad 5: Curvas

🎯 Objetivos de Aprendizaje

Objetivo General

Extender el análisis de una variable a funciones de tipo curva, desarrollando herramientas para representar líneas en el espacio y calcular efectos globales mediante integrales de línea.

Objetivos Específicos

Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:

• Extender el análisis de una variable a funciones de tipo curva
• Representar líneas en el plano y el espacio a través de funciones de tipo curva
• Plantear integrales de línea para calcular efectos globales de funciones definidas en curvas
• Describir curvas localmente a través de parámetros de geometría diferencial, como la curvatura
• Aplicar el teorema fundamental de integrales de línea y el teorema de Green

📋 Contenidos y recursos

5.1 Fundamentos de Curvas

• 5.1.1 Definición y parametrización de curvas
• 5.1.2 Análisis componente a componente
• 5.1.3 Conjuntos asociados: gráfico e imagen

5.2 Integrales de Línea

• 5.2.1 Integral de línea de campos escalares
• 5.2.2 Integral de línea de campos vectoriales
• 5.2.3 Interpretación física y aplicaciones

5.3 Geometría Diferencial de Curvas

• 5.3.1 Vector tangente, normal y binormal
• 5.3.2 Curvatura y torsión
• 5.3.3 Triedro de Frenet

5.4 Teoremas Fundamentales

• 5.4.1 Teorema fundamental de integrales de línea
• 5.4.2 Campos conservativos
• 5.4.3 Teorema de Green

💡 Idea Central

Una función de tipo curva es un vector de funciones de una variable:

$$\gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n, \quad \gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t), \ldots, \gamma_n(t))$$

Análisis Componente a Componente

El Teorema del Límite permite analizar vectores componente a componente (tomar límite, derivar, integrar). Como las componentes de $\gamma$ son funciones de una variable, este análisis no requiere herramientas nuevas.

Novedad en Conjuntos Asociados

La novedad de estas funciones está en sus conjuntos asociados. Tanto el gráfico como la imagen de $\gamma$ son líneas en el plano o el espacio.

Aplicaciones Principales

El principal uso de una curva es entonces representar líneas para hacer cuentas con ellas. Por ejemplo:

• Calcular la longitud de una espiral
• Determinar la curvatura de una parábola
• Encontrar el promedio de una función definida a lo largo de un cable
• Calcular el trabajo de un campo a lo largo de una trayectoria

Herramientas Clave

• Integral de línea: Específica para funciones definidas a lo largo de curvas, permite calcular parámetros globales como promedios o circulaciones
• Geometría diferencial: Permite analizar más en detalle la forma de una curva a nivel local, alrededor de puntos específicos

Primer tema: 5.1 Fundamentos de Curvas

5.1.1 Definición y Parametrización de Curvas

Definición: Una curva parametrizada es una función vectorial:

$$\gamma: [a,b] \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$$

donde $\gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t), \ldots, \gamma_n(t))$.

Parametrización regular: Una curva $\gamma$ es regular en $t_0$ si $\gamma'(t_0) \neq \vec{0}$.

5.1.2 Análisis Componente a Componente

Límites:

$$\lim_{t \rightarrow t_0} \gamma(t) = \left(\lim_{t \rightarrow t_0} \gamma_1(t), \ldots, \lim_{t \rightarrow t_0} \gamma_n(t)\right)$$

Derivadas:

$$\gamma'(t) = (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t), \ldots, \gamma_n'(t))$$

Integrales:

$$\int_a^b \gamma(t) \, dt = \left(\int_a^b \gamma_1(t) \, dt, \ldots, \int_a^b \gamma_n(t) \, dt\right)$$

5.1.3 Conjuntos Asociados

Gráfico: $\text{Gr}_{\gamma} = \{(t, \gamma(t)) : t \in [a,b]\} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$

Imagen (Traza): $\text{Im}_{\gamma} = \{\gamma(t) : t \in [a,b]\} \subseteq \mathbb{R}^n$

La imagen representa la línea en el espacio que describe la curva.

Segundo tema: 5.2 Integrales de Línea

5.2.1 Integral de Línea de Campo Escalar

Definición: Sea $C$ una curva con parametrización regular $\gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ y $f$ un campo escalar definido en $C$.

$$\int_C f(\vec{x}) \, dl = \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\| \, dt$$

Interpretación:

• Si $f(\vec{x}) = 1$, la integral es la longitud de la curva
• Si $f(\vec{x})$ es una densidad de masa lineal, la integral calcula la masa total de la curva

5.2.2 Integral de Línea de Campo Vectorial

Definición: Sea $C$ una curva con parametrización regular $\gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ y $\vec{F}$ un campo vectorial definido en $C$.

$$\int_C \vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{x} = \int_a^b \vec{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt$$

Interpretación física: La integral representa el trabajo realizado por el campo de fuerzas $\vec{F}$ al mover una partícula a lo largo de la curva $C$.

5.2.3 Propiedades de las Integrales de Línea

Linealidad:

$$\int_C (af + bg) \, dl = a\int_C f \, dl + b\int_C g \, dl$$

Aditividad:

$$\int_{C_1 + C_2} f \, dl = \int_{C_1} f \, dl + \int_{C_2} f \, dl$$

Orientación:

$$\int_{-C} \vec{F} \cdot d\vec{x} = -\int_C \vec{F} \cdot d\vec{x}$$

Tercer tema: 5.3 Geometría Diferencial de Curvas

5.3.1 Vector Tangente

Definición: El vector tangente unitario en $t$ es:

$$\vec{T}(t) = \frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}$$

Es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto.

5.3.2 Vector Normal Principal

Definición: El vector normal principal en $t$ es:

$$\vec{N}(t) = \frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|}$$

Es un vector unitario perpendicular al vector tangente que apunta en la dirección de la curvatura.

5.3.3 Vector Binormal y Triedro de Frenet

Vector Binormal: Para curvas en $\mathbb{R}^3$:

$$\vec{B}(t) = \vec{T}(t) \times \vec{N}(t)$$

Es un vector unitario perpendicular tanto a $\vec{T}$ como a $\vec{N}$.

Triedro de Frenet: Los tres vectores $\{\vec{T}, \vec{N}, \vec{B}\}$ forman un triedro ortonormal.

5.3.4 Curvatura

Definición: La curvatura en $t$ es:

$$\kappa(t) = \|\vec{T}'(t)\| = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}$$

Interpretación: Mide qué tan rápido cambia la dirección del vector tangente, es decir, qué tanto se curva la trayectoria.

Cuarto tema: 5.4 Teoremas Fundamentales

5.4.1 Teorema Fundamental de las Integrales de Línea

Enunciado: Sea $\vec{F}$ un campo vectorial y $C$ una curva que va del punto $A$ al punto $B$. Si $\vec{F}$ es un campo conservativo (es el gradiente de un campo escalar $f$), entonces:

$$\int_C \nabla f \cdot d\vec{x} = f(B) - f(A)$$

Consecuencias importantes:

• La integral es independiente del camino
• La integral sobre cualquier curva cerrada es cero
• El valor depende únicamente de los puntos inicial y final

5.4.2 Campos Conservativos

Definición: Un campo vectorial $\vec{F}$ es conservativo si existe un campo escalar $f$ tal que:

$\vec{F} = \nabla f$

La función $f$ se llama función potencial de $\vec{F}$.

Criterio (en $\mathbb{R}^2$): Si $\vec{F} = (P, Q)$ tiene derivadas parciales continuas en una región simplemente conexa, entonces $\vec{F}$ es conservativo si y solo si:

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$

5.4.3 Teorema de Green

Enunciado: Sea $C$ una curva cerrada, simple y suave a trozos que encierra una región $R$. Si $\vec{F} = (P, Q)$ es un campo vectorial con componentes continuas y derivadas parciales de primer orden continuas, entonces:

$$\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$$

Interpretación:

• Lado izquierdo: Circulación del campo a lo largo de la frontera
• Lado derecho: Flujo del rotacional del campo sobre la región

Formas especiales:

Área encerrada:

$$\text{Área}(R) = \oint_C x \, dy = -\oint_C y \, dx = \frac{1}{2}\oint_C (x \, dy - y \, dx)$$

Criterio de conservatividad: Si $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$ en toda la región, entonces $\vec{F}$ es conservativo.