Unidad 8: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

🎯 Objetivos de Aprendizaje

Objetivo General

Estudiar ecuaciones diferenciales ordinarias y sus métodos de resolución, desarrollando herramientas para modelar fenómenos naturales y sistemas dinámicos mediante ecuaciones que involucran derivadas.

Objetivos Específicos

Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:

• Comprender la importancia de las ecuaciones diferenciales en ciencia y tecnología
• Clasificar ecuaciones diferenciales según orden, linealidad y homogeneidad
• Resolver EDO de primer orden por variables separables, homogéneas y lineales
• Resolver EDO de segundo orden lineales con coeficientes constantes
• Aplicar el teorema de existencia y unicidad de soluciones
• Modelar problemas aplicados mediante ecuaciones diferenciales

📋 Contenidos y recursos

8.1 Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

• 8.1.1 Conceptos básicos y motivación
• 8.1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales
• 8.1.3 Soluciones generales y particulares

8.2 EDO de Primer Orden

• 8.2.1 Variables separables
• 8.2.2 Ecuaciones homogéneas
• 8.2.3 Ecuaciones lineales de primer orden

8.3 EDO de Segundo Orden

• 8.3.1 Ecuaciones lineales homogéneas
• 8.3.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
• 8.3.3 Métodos de resolución

8.4 Teoría de Existencia y Unicidad

• 8.4.1 Teorema de existencia y unicidad
• 8.4.2 Condiciones de aplicabilidad
• 8.4.3 Interpretación geométrica

💡 Idea Central

Las ecuaciones diferenciales son el área de la matemática más motivada por sus aplicaciones en la ciencia y tecnología modernas. Muchos principios de la naturaleza y sistemas en la ingeniería están gobernados por ecuaciones diferenciales.

Tipos de Ecuaciones

Ecuaciones algebraicas: Plantean operaciones entre variables que son números.

Ecuaciones funcionales: Plantean operaciones entre variables que son funciones.

Ecuaciones diferenciales: Plantean operaciones entre diferencias, es decir, derivadas de funciones.

Clasificación Principal

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): Involucran funciones de una variable y sus derivadas.

Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP): Son más complejas, ya que involucran funciones de varias variables y sus derivadas parciales.

Aplicaciones

Las ecuaciones diferenciales modelan:

• Crecimiento poblacional
• Decaimiento radiactivo
• Oscilaciones mecánicas
• Circuitos eléctricos
• Transferencia de calor
• Dinámica de fluidos
• Sistemas económicos

Primer tema: 8.1 Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

8.1.1 Conceptos Básicos y Motivación

Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función desconocida y sus derivadas.

Forma general de una EDO:

$$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$$

donde:

• $x$ es la variable independiente
• $y = y(x)$ es la función desconocida (variable dependiente)
• $y', y'', \ldots, y^{(n)}$ son las derivadas de $y$

Solución: Una función $y = \phi(x)$ que satisface la ecuación diferencial en un intervalo dado.

8.1.2 Clasificación de Ecuaciones Diferenciales

Según el Orden:

El orden de una EDO es el de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

• Primer orden: $F(x, y, y') = 0$
• Segundo orden: $F(x, y, y', y'') = 0$
• n-ésimo orden: $F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$

Según la Linealidad:

Una EDO es lineal si es lineal en la variable dependiente y sus derivadas, y sus coeficientes son funciones de la variable independiente.

EDO lineal de orden n:

$$a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x)$$

Según la Homogeneidad:

Una EDO lineal es homogénea si el término independiente es nulo.

• Homogénea: $a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_0(x)y = 0$
• No homogénea: $a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_0(x)y = g(x)$ con $g(x) \neq 0$

8.1.3 Soluciones Generales y Particulares

Solución general: Contiene todas las constantes arbitrarias correspondientes al orden de la ecuación.

Solución particular: Se obtiene asignando valores específicos a las constantes arbitrarias.

Condiciones iniciales: Condiciones que permiten determinar las constantes arbitrarias.

Segundo tema: 8.2 EDO de Primer Orden

8.2.1 Variables Separables

Definición: Las EDO más simples, donde las variables pueden ser separadas de forma que cada lado de la ecuación solo contenga una de las variables.

Forma:

$$y'(x) = \frac{p(x)}{q(y)}$$

Método de resolución:

$$\int q(y) dy = \int p(x) dx$$

Pasos del método:

1. Separar las variables: $q(y) dy = p(x) dx$
2. Integrar ambos lados
3. Despejar $y$ si es posible
4. Aplicar condiciones iniciales

Ejemplo:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$$

Separando variables: $y dy = x dx$

Integrando: $\int y dy = \int x dx$

Resultado: $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$

Solución: $y^2 = x^2 + 2C$

8.2.2 Ecuaciones Homogéneas

Definición: EDO de la forma:

$$y'(x) = f\left(\frac{y}{x}\right)$$

Método de resolución: Se usa el cambio de variable $v = \frac{y}{x}$, lo que la transforma en una de variables separables.

Cambio de variable:

• $y = vx$
• $y' = v'x + v$

Sustitución:

$$v'x + v = f(v)$$ $$v'x = f(v) - v$$ $$\frac{dv}{dx} = \frac{f(v) - v}{x}$$

Esta ecuación es de variables separables en $v$ y $x$.

8.2.3 Ecuaciones Lineales de Primer Orden

Forma:

$$y'(x) + p(x)y = q(x)$$

Método de resolución: Se usa un factor de integración.

Factor de integración:

$$\mu(x) = e^{\int p(x) dx}$$

Procedimiento:

1. Multiplicar la ecuación por $\mu(x)$
2. El lado izquierdo se convierte en $(\mu(x)y)'$
3. Integrar ambos lados
4. Despejar $y$

Solución general:

$$y = \frac{1}{\mu(x)} \left[ \int \mu(x)q(x) dx + C \right]$$

Tercer tema: 8.3 EDO de Segundo Orden

8.3.1 Ecuaciones Lineales Homogéneas

Se resuelven de forma analítica solo si son lineales con coeficientes constantes.

Forma:

$$ay'' + by' + cy = 0$$

donde $a$, $b$, $c$ son constantes y $a \neq 0$.

Ecuación característica:

$$ar^2 + br + c = 0$$

Casos según las raíces:

Caso 1: Raíces reales distintas $r_1 \neq r_2$

$$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$$

Caso 2: Raíces reales iguales $r_1 = r_2 = r$

$$y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$$

Caso 3: Raíces complejas $r = \alpha \pm \beta i$

$$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$$

8.3.2 Ecuaciones Lineales No Homogéneas

Forma:

$$ay'' + by' + cy = f(x)$$

Método de resolución:

1. Resolver la ecuación homogénea asociada: $ay'' + by' + cy = 0$
2. Buscar una solución particular $y_p$ de la ecuación completa
3. La solución general es: $y = y_h + y_p$

8.3.3 Métodos para Encontrar Soluciones Particulares

Método de coeficientes indeterminados: Para $f(x)$ de formas específicas (polinomios, exponenciales, trigonométricas).

Método de variación de parámetros: Método general que funciona para cualquier $f(x)$ continua.

Cuarto tema: 8.4 Teoría de Existencia y Unicidad

8.4.1 Teorema de Existencia y Unicidad

Enunciado: Para una EDO de la forma $y' = f(x, y)$, si $f$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en un rectángulo $R$ que contiene al punto $(x_0, y_0)$, entonces existe una única solución que pasa por ese punto.

Condiciones:

1. $f(x, y)$ es continua en $R$
2. $\frac{\partial f}{\partial y}$ es continua en $R$
3. $(x_0, y_0) \in R$

Conclusión: Existe una única función $y = \phi(x)$ definida en un intervalo que contiene a $x_0$ tal que:

• $\phi(x_0) = y_0$
• $\phi'(x) = f(x, \phi(x))$

8.4.2 Condiciones de Aplicabilidad

Importancia práctica:

• Garantiza que el problema tiene solución
• Asegura que la solución es única
• Proporciona base teórica para métodos numéricos

Limitaciones:

• Solo garantiza existencia local
• No proporciona método de construcción
• Las condiciones son suficientes pero no necesarias

8.4.3 Interpretación Geométrica

Campo de direcciones: La EDO $y' = f(x, y)$ define un campo de direcciones en el plano.

Curvas integrales: Las soluciones son curvas que en cada punto tienen la dirección indicada por el campo.

Unicidad geométrica: Por cada punto pasa exactamente una curva integral (bajo las condiciones del teorema).

Aplicaciones:

• Modelado de poblaciones
• Circuitos eléctricos
• Mecánica clásica
• Cinética química
• Economía dinámica